La topologie différentielle est la topologie qui étudie les collecteurs différentiels et les cartes différenciables. Avec les progrès de la topologie algébrique et de la géométrie différentielle, il est réapparu dans les années 1930. H. Whitney a donné une définition générale du collecteur différentiel en 1935 et a prouvé qu’il peut toujours être intégré dans l’espace euclidean de haute dimension. Afin d’étudier le champ vectoriel sur le collecteur différentiel, il a également proposé le concept de faisceaux de fibres, de sorte que de nombreux problèmes géométriques sont liés à l’homologie (classe indicative) et les problèmes d’homotopie.
En 1953, la théorie de la collocation de René Thom a créé une situation où la topologie différentielle et la topologie algébrique avançaient côte à côte. Beaucoup de problèmes différentiels difficiles de topologie ont été transformés en problèmes de topologie algébrique et résolus, qui ont également stimulé la topologie algébrique. Développement ultérieur. En 1956, Milno a découvert qu’en plus de la structure différentielle habituelle sur la sphère septdimensionnelle, il y avait aussi une structure différentielle inhabituelle. Par la suite, les multiples qui ne peuvent être assignés à aucune structure différentielle ont été construits par des humains. Tous ces éléments montrent que les trois catégories de collecteurs topologiques, de collecteurs différentiels et de collecteurs linéaires à la pièce entre les deux ont une énorme différence, la topologie différentielle a depuis été reconnue comme une branche indépendante de la topologie. En 1960, Smail a prouvé la conjecture poincaré pour les collecteurs différentiels avec plus de cinq dimensions. J.W. Milno et coll. ont mis au point une méthode de base pour traiter les collecteurs différentiels ― - 剜讓擜, de sorte que la classification des multiples avec plus de cinq dimensions est progressivement devenue algébrique.
Les domaines importants sont la relation entre les trois catégories ci-dessus de collecteurs et la classification des collecteurs tridimensionnels et quadridimensionnels. Les principales réalisations du début des années 1980 comprenaient la preuve de la conjecture quadridimensionnelle de Poincaré et la découverte de la structure différentielle inhabituelle dans l’espace euclidean quadridimensionnel. Ce type de recherche est généralement appelé topologie géométrique afin de mettre l’accent sur sa couleur géométrique, qui est différente de la théorie de l’homotopie algébrique.